代数与函数：给预测规则一个明确表达

数学先从明确关系开始

虚构积木体验站用积木数量预测任务用时。观察几条模拟记录后，暂时提出规则：预计用时等于二加上零点五乘积木数量。把积木数量写成变量x，把预计分钟数写成输出y，就得到y等于二加零点五x。代数使用符号表达关系，让同一个规则适用于多个输入，而不用每次重新写一句完整文字。这里的二和零点五是参数，表示规则的固定设置；x是本次输入，可以从一个任务换到另一个任务。参数与输入虽然都能写成数字，职责却不同。

函数是一台定义清楚的转换器

函数把允许范围内的输入映射到输出，写作f(x)。对这条规则，十块积木输入后得到二加五，即七分钟；十六块输入后得到二加八，即十分钟。若模型对相同输入使用相同规则，输出应一致；但真实任务用时可能不同，因为还有经验、任务结构与暂停等因素没有进入函数。函数给出的是模型规则的结果，不是宣告现实由一个变量完全决定。输入允许哪些值称为定义域，本例积木数量应为非负整数，不能把负五块当作有意义的任务配置。

斜率与截距怎样解释

零点五叫斜率，表示在这个规则中，积木数量每增加一块，预计用时增加半分钟。参数二叫截距，是输入为零时规则给出的输出。它可以表示准备时间，但只有任务定义支持时才能这样解释；若从未观察零块任务，截距更可能只是拟合直线的数学位置。数量从十增加到十二时，预测从七增加到八，变化为一分钟。参数有单位：斜率是分钟每块，截距是分钟。忽略单位容易把分钟规则误套到秒数据上，产生六十倍的错误。

用误差检查而不是凭形式相信

假设十块任务实际用时八分钟，规则预测七，实际减预测的残差为一；十六块实际用时九，预测十，残差为负一。正负号说明高估或低估方向，但不能直接相加后说没有误差，因为一与负一会抵消。可以看绝对值或平方作为误差大小。一个函数写得很简洁，也可能预测得不好。应该先代入若干已知记录，核对单位与计算，再检查在哪类任务上偏差较大。代数只是精确表达假设的语言，不能替代对假设的检验。

线性规则有边界

直线表示固定增量，但现实关系可能存在台阶、弯曲或上限。积木从十增加到十二可能只是多两块，增加到一百却可能涉及完全不同的设计与协作，不能只把公式延伸过去。超出观察范围的预测称为外推，风险通常高于在已有范围内比较。以后模型可能包含多个输入或非线性关系，基本问题仍相同：输入是什么，参数表示什么，输出有什么单位，误差如何核对，哪些情境没有证据。会问这些问题比背住某一个公式更有用。